Question

已知數列{a_n} 的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3，…）；數列 {b_n}中，b₁=1，點p（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（Ⅰ）求數列{a_n} 和 {b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{

bn+1

2

}的前n和為S_n，求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

；
（Ⅲ）設數列{c_n}的前n項和為T_n，且c_n=a_n•b_n，求T_n．

Answer 1

分析：（I）利用當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可得數列{a_n}是等比數列；利用點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，可得數列{b_n}是等差數列，由此可求數列{a_n} 和 {b_n}的通項公式；
（Ⅱ）確定數列{

bn+1

2

}的通項，利用裂項法，可求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

；
（Ⅲ）利用錯位相減法，可求T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n-2，
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2），…（1分）
即a_n=2a_n-1，
∴數列{a_n}是等比數列．
∵a₁=S₁=2a₁-2，∴a₁=2
∴a_n=2ⁿ．                           …（3分）
∵點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，
∴b_n+1-b_n=2，
即數列{b_n}是等差數列，
又b₁=1，∴b_n=2n-1．…（5分）
（Ⅱ）由題意可得

bn+1

2

=n，∴S_n=

n(n+1)

2

，…（6分）
∴

1

Sn

=2（

1

n

-

1

n+1

），…（7分）
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

2n

n+1

．…（9分）
（Ⅲ）∵cn=an•bn=(2n-1)•2n…（10分）
∵Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1…（11分）
兩式相減得：-Tn=2+2×(22+23+24+…+2n)-(2n-1)2n+1
=-6-（2n-3）2ⁿ⁺¹…（13分）
∴Tn=6+(2n-3)2n+1…（14分）

點評：本題考查數列的通項與求和，考查裂項法、錯位相減法的運用，屬于中檔題．