Question

在數列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=．
（Ⅰ）證明數列{-1}為等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：a_i（a_i-1）＜3

Answer 1

【答案】分析：（1）對a_n+1=兩邊求倒數得-1=（-1），由a₁=2得出數列{-1}是首項為-，公比為的等比數列．寫出其通項公式化簡可得數列{a_n}的通項公式；
（2）利用a_i（a_i-1）=＜==-證出即可．
解答：（Ⅰ）解：由a₁=2，a_n+1=得，對n∈N^*，a_n≠0．
從而由a_n+1=兩邊取倒數得，=+．
即-1=（-1），
∵a₁=2，-1=-．
∴數列{-1}是首項為-，公比為的等比數列．
∴-1=-•=-
∴=1-=．∴a_n=．
故數列{a_n}的通項公式是a_n=．
（Ⅱ）∵a_n=，
∴a_i（a_i-1）=（i=1，2，，n），
當i≥2時，
∵a_i（a_i-1）=＜==-，
∴a_i（a_i-1）=a₁（a₁-1）+a₂（a₂-1）+…+a_n（a_n-1）
=++…+
＜+（-）+（-）+…+（-）
=2+1-
=3-＜3．
點評：考查學生對等比關系的判斷能力，會利用數列的遞推式的能力，以及不等式的證明能力．