Question

對任何函數f（x），x∈D，可按圖示構造一個數列發生器，其工作原理如下：①輸入數據x₀∈D，經數列發生器輸出x₁=f（x₀）；②若x₁∉D，則數列發生器結束工作；若x₁∈D，則將x₁反饋回輸入端，再輸出x₂=f（x₁），并依此規律繼續下去．現定義f(x)=

4x-2

x+1

•
（Ⅰ）若輸入x0=

49

65

，則由數列發生器產生數列{x_n}，請寫出數列{x_n}的所有項；
（Ⅱ）若要數列發生器產生一個無窮的常數列，試求輸入的初始數據x₀的值；
（Ⅲ）若輸入x₀時，產生的無窮數列{x_n}滿足：對任意正整數n，均有x_n＜x_n+1，求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f(x)=

4x-2

x+1

，x0=

49

65

及工作原理，注意函數的定義域，直接可求得數列{x_n}的只有三項；
（Ⅱ）要數列發生器產生一個無窮的常數列，則有f(x)=

4x-2

x+1

=x，從而求出相應的初始數據x₀的值；
（Ⅲ）要使對任意正整數n，均有x_n＜x_n+1，則必須x＜

4x-2

x+1

，得x＜-1或1＜x＜2，要使x₁＜x₂，則x₁＜-1或1＜x₁＜2，再分別進行驗證．

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）的定義域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），所以數列{x_n}只有三項x1=

11

19

，x2=

1

5

，x3=-1．
（Ⅱ）因為f(x)=

4x-2

x+1

=x，即x²-3x+2=0，所以x=1或x=2，即x₀=1或x₀=2時，xn+1=

4xn-2

xn+1

=xn•
故當x₀=1時，x_n=1；當x₀=2時，x_n=2（n∈N^*）．
（Ⅲ）解不等式x＜

4x-2

x+1

，得x＜-1或1＜x＜2，要使x₁＜x₂，則x₁＜-1或1＜x₁＜2．
對于函數f(x)=

4x-2

x+1

=4-

6

x+1

，
若x₁＜-1，則x₂=f（x₁）＞4，x₃=f（x₂）＜x₂．
當1＜x₁＜2時，x₂=f（x₁）＞x₁，且1＜x₂＜2．依此類推可得數列{x_n}的所有項均滿足x_n+1＞x_n（n∈N）．
綜上所述，x₁∈（1，2），由x₁=f（x₀），得x₀∈（1，2）．

點評：本題是數列與算法的簡單結合，應搞清算法原理，將問題等價轉化，有一定的難度．