Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a．
求：
（1）二面角A-BD-A₁的正切值；
（2）AA₁與平面A₁BD所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）連接AC，AC∩BD=O，連接A₁O，則∠A₁OA為二面角A-BD-A₁的平面角；
（2）過A作AE⊥A₁O，垂足為E，則AE⊥平面A₁BD，從而∠AA₁O為AA₁與平面A₁BD所成的角．

解答：解：（1）連接AC，AC∩BD=O，連接A₁O，則∠A₁OA為二面角A-BD-A₁的平面角
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，
∴AO=

2

2

a
∴tan∠A₁OA=

a

2 2 a

=

2

；
（2）過A作AE⊥A₁O，垂足為E，
∵AE⊥BD，A₁O∩BD=O，∴AE⊥平面A₁BD
∴∠AA₁O為AA₁與平面A₁BD所成的角
∵A₁A=a，AO=

2

2

a
∴A₁O=

6

2

a
∴AA₁與平面A₁BD所成的角的余弦值為

a

6 2 a

=

6

3

．

點評：本題考查面面角與線面角，解題的關鍵是確定線面角與面面角，屬于基礎題．