Question

已知在(

3	x

-

1

2 3 x

)n的展開式中，第5項為常數項．
（1）求n；
（2）求展開式中含x²的項．

Answer 1

分析：（1）先求出 (

3	x

-

1

2 3 x

)n的展開式的通項公式為T_r+1=(-

1

2

)r

•C

r n

•x

n-2r

3

，再令r=4，可得第5項，再由第5項為常數項求得n的值．
（2）由（1）可得展開式的通項公式中，令x的冪指數

8-2r

3

=2，解得r=1，從而求得展開式中含x²的項．

解答：解：（1）由于 (

3	x

-

1

2 3 x

)n的展開式的通項公式為T_r+1=

C

r n

•x

n-r

3

•(-

1

2

)r•x

-r

3

=(-

1

2

)r

•C

r n

•x

n-2r

3

，
故第5項為 T₄₊₁=(-

1

2

)4

•C

4 n

•x

n-8

3

．
由于第5項為常數項，∴

n-8

3

=0，解得 n=8．
（2）由（1）可得展開式的通項公式為T_r+1=(-

1

2

)r

•C

r 8

•x

8-2r

3

，令

8-2r

3

=2，解得r=1，
故展開式中含x²的項為 (-

1

2

)1

•C

1 8

•x²=-4x²．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于中檔題．