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已知a>0,且a≠1,f(logax)=(
a
a2-1
)(x-
1
x
)

(1)求f(x)的表達式,并判斷其單調性;
(2 )當f(x)的定義域為(-1,1)時,解關于m的不等式f(1-m)+f(1-m2)<0;
(3)若y=f(x)-4在(-∞,2)上恒為負值,求a的取值范圍.
分析:(1)利用對數函數的性質結合換元法令t=logax,從而推出x=at,導出f(t)后,直接把f(t)中的變量t都換成x就得到f(x),利用單調函數的定義和性質可判斷單調性.
(2)結合f(x)的奇偶性與單調性進行求解:由y=f(x)(x∈R)的奇偶性、單調性,由f(1-m)+f(1-m2)<0可得f(1-m)<-f(1-m2),即f(1-m)<f(m2-1),再y=f(x)在(-1,1)上是增函數求解m的取值范圍.
(3)由當x∈(-∞,2)時,f(x)-4的值恒為負數,即f(x)-4<0恒成立,根據函數的單調性可得f(2)-4≤0,整理即可解得a的取值范圍.
解答:解:(1):(1)令t=logax(t∈R),
則x=at,f(t)=
a
a2-1
(at-a-t).
∴f(x)=
a
a2-1
(ax-a-x)(x∈R).
①當a>1時,指數函數y=ax是增函數,y=(
1
a
)x=a-x是減函數,y=-a-x是增函數.
∴y=ax-a-x為增函數,
又因為
a
a2-1
>0,
∴f(x)=
a
a2-1
(ax-a-x)(x∈R)是增函數.
②當0<a<1時,指數函數y=ax是減函數,
y=(
1
a
)x=a-x是增函數,y=-a-x是減函數.
∴u(x)=ax-a-x為減函數.
又因為
a
a2-1
<0,
∴f(x)=
a
a2-1
(ax-a-x)(x∈R)是增函數.
綜上可知,在a>1或0<a<1時,y=f(x),(x∈R)都是增函數.
(2)易判斷函數f(x)是奇函數,f(1-m)+f(1-m2)<0?f(1-m)<f(m2-1),
又f(x)為增函數,所以有
1-m<1-m2
-1<m-1<1
-1<m2-1<1
,解得1<m<
2

故不等式的解集{m|1<m<
2
};
(3)當x∈(0,2)時,f(x)-4的值恒為負數,即f(x)-4<0恒成立,
因為f(x)為R上的單調增函數,則f(2)-4=
a
a2-1
(a2-a-2)-4≤0,
整理得a2-4a+1≤0,所以2-
3
≤a≤2+
3

又a>0且a≠1,所以實數a的取值范圍是[2-
3
,1)∪(1,2+
3
].
點評:本題是函數奇偶性與單調性的綜合應用,特別是后面抽象不等式及恒成立問題,難度較大.
練習冊系列答案
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