Question

已知二次函數g(x)對任意實數x都滿足g(x-1)+g(1-x)=x²-2x-1，且g(1)=-1，f(x)=g(x+)+mlnx+(m∈R，x＞0)，
(1)求g(x)的表達式；
(2)若x＞0使f(x)≤0成立，求實數m的取值范圍；
(3)設1＜m≤e，H(x)=f(x)-(m+1)x，證明：對x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H(x₁)-H(x₂)|＜1．

Answer 1

解：(1)設g(x)=ax²+bx+c(a≠0)，
于是g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1)²+2c=(x-1)²-2，
所以，
又g(1)=-1，則，
所以。
(2)，
當m＞0時，由對數函數性質，f(x)的值域為R；
當m=0時，對，f(x)＞0恒成立；
當m＜0時，由，
列表如下：

這時，，
，
所以若，f(x)＞0恒成立，則實數m的取值范圍是(-e，0]；
故若使f(x)≤0成立，則實數m的取值范圍是(-∞，-e]∪(0，+∞)。
(3)因為對，，
所以H(x)在[1，m]內單調遞減，
于是，
，
記，
則h′(m)=，
所以函數在(1，e]內是單調增函數，
所以h(m)≤h(e)=，故原命題成立．