Question

如圖，在邊長為4的菱形中，．點分別在邊上，點與點不重合，．沿將翻折到的位置，使平面平面．

（1）求證：平面；

（2）設點滿足，試探究：當取得最小值時，直線與平面所成角的大小是否一定大于？并說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：∵　菱形的對角線互相垂直，∴，∴，

∵  ，∴．

∵　平面⊥平面，平面平面，且平面，

∴　平面, ∵  平面，∴　．                                  ∵  ，∴　平面．……………………………… 4分

（2）如圖，以為原點，建立空間直角坐標系．

設 因為，所以為等邊三角形，

故，．又設，則，．

所以，，，

故 ，

所以，

當時，．此時，………………………………6分

設點的坐標為，由（1）知，，則，，，．所以，，

∵，　∴           ．             

∴，∴．   10分

設平面的法向量為，則．

∵，，∴　

取，解得：， 所以．……………………………… 8分       

設直線與平面所成的角，

∴

．……………………………………………… 10分

又∵∴． ∵，∴．

因此直線與平面所成的角大于，即結論成立．……………………………12分