Question

設函數f（x）的定義域為D，若存在閉區間[a，b]?D，使得函數f（x）滿足：①f（x）在[a，b]上是單調函數；②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，則稱區間[a，b]是函數f（x）的“和諧區間”．下列結論錯誤的是（　　）

• A、函數f（x）=x²（x≥0）存在“和諧區間”
• B、函數f（x）=2^x（x∈R）不存在“和諧區間”
• C、函數f(x)=

  4x

  x2+1

  （x≥0）存在“和諧區間”
• D、函數f（x）=log₂x（x＞0）不存在“和諧區間”

Answer 1

分析：A、B、C中，可以找出定義域中的“和諧區間”，從而作出正確的選擇．D中，假設存在“和諧區間”[a，b]，會得出錯誤的結論．

解答：解：A中，當x≥0時，f（x）=x²在[0，2]上是單調增函數，且f（x）在[0，2]上的值域是[0，4]，∴存在“和諧區間”，原命題正確；
B中，當x∈R時，f（x）=2^x在[1，2]上是單調增函數，且f（x）在[1，2]上的值域是[2，4]，∴存在“和諧區間”，原命題錯誤；
C中，當x≥0時，f（x）=

4

x+ 1 x

≤2在[0，1]上是單調增函數，且f（x）在[0，1]上的值域是[0，2]，∴存在“和諧區間”，原命題正確；
D中，當x＞0時，f（x）=log₂x是單調增函數，假設存在[a，b]滿足題意，則f（a）=2a，且f（b）=2b，即log₂a=2a，且log₂b=2b；
∴2^2a=a，且2^2b=b，即4^a=a，且4^b=b；這與函數的單調性矛盾，∴假設不成立，即函數不存在“和諧區間”，原命題正確；
故選：B．

點評：本題考查了新定義下的函數的性質與應用問題，解題時應理解新定義中的題意與要求，轉化為解題的條件與結論，是易錯題．