Question

已知a是實數，函數f（x）=2ax²+2x-3-a，如果函數y=f（x）在區間[-1，1]上有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：y=f（x）在區間[-1，1]上有零點轉化為（2x²-1）a=3-2x在[-1，1]上有解，把a用x表示出來，轉化為求函數在[-1，1]上的值域，再用分離常數法求函數在[-1，1]的值域即可．
解答：解：a=0時，不符合題意，所以a≠0，
又∴f（x）=2ax²+2x-3-a=0在[-1，1]上有解，?（2x²-1）a=3-2x在[-1，1]上有解
在[-1，1]上有解，問題轉化為求函數[-1，1]上的值域；
設t=3-2x，x∈[-1，1]，則2x=3-t，t∈[1，5]，，
設，時，g'（t）＜0，此函數g（t）單調遞減，
時，g'（t）＞0，此函數g（t）單調遞增，
∴y的取值范圍是，
∴f（x）=2ax²+2x-3-a=0在[-1，1]上有解?∈?a≥1或．
故a≥1或a≤-．
點評：本題是一道中檔題，主要考查函數的零點及函數的零點存在性定理，函數的零點的研究就可轉化為相應方程根的問題，函數與方程的思想得到了很好的體現．