Question

【題目】已知直線是雙曲線的一條漸近線，點在雙曲線C上，設坐標原點為O.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若過點的直線l與雙曲線C交于R、S兩點，若，求直線l的方程；

（3）設在雙曲線上，且直線AM與y軸相交于點P，點M關于y軸對稱的點為N，直線AN與y軸相交于點Q，問：在x軸上是否存在定點T，使得？若存在，求出點T的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) （2） （3）存在，

【解析】

（1）根據漸近線求解a,b關系，再根據雙曲線上一點A求解雙曲線標準方程；

（2）由知D為RS中點，利用點差法求解直線l斜率，進而求解直線方程；

（3）根據直線斜率及點斜式方程，分別列出直線AM和直線AN方程，求P,Q坐標，滿足,即可求解點T坐標.

（1）由直線是雙曲線漸近線，則，則雙曲線方程，

代入，解得，

故雙曲線C的方程為

（2）由題意，可知D為RS中點，

設RS兩點坐標為，代入原式

，兩式作差得

整理得，

再由中點坐標公式

解得

故直線l的方程為

（3）存在，

根據題意，由，則斜率，直線，

當時，，即

同理，由則斜率，直線，

當時，，即

設：，則

，，

又，得到

解得，又雙曲線C中，或

故T坐標為