Question

對于三次函數f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d(a≠0)．

定義：(1)設是函數y＝f(x)的導數的導數，若方程＝0有實數解x₀，則稱點(x₀，f(x₀))為函數y＝f(x)的“拐點”；

定義：(2)設x₀為常數，若定義在R上的函數y＝f(x)對于定義域內的一切實數x，都有f(x₀＋x)＋f(x₀－x)＝2f(x₀)成立，則函數y＝f(x)的圖象關于點(x₀，f(x₀))對稱．

己知f(x)＝x³－2x²＋2，請回答下列問題：

(1)求函數f(x)的“拐點”A的坐標

(2)檢驗函數f(x)的圖象是否關于“拐點”A對稱，對于任意的三次函數寫出一個有關“拐點”的結論(不必證明)

(3)寫出一個三次函數G(x)，使得它的“拐點”是(－1，3)(不要過程)

Answer 1

答案：
解析：

(1)依題意，得：， 　　．　2分 　　由，即．∴，又， 　　∴的“拐點”坐標是． 　　(2)由(1)知“拐點”坐標是．而 　　＝ 　　＝＝， 　　由定義(2)知：關于點對稱． 　　一般地，三次函數的“拐點”是，它就是的對稱中心．(或者：任何一個三次函數都有拐點；任何一個三次函數都有對稱中心；任何一個三次函數平移后可以是奇函數………)都可以給分 　　(3)或寫出一個具體的函數，如或．