Question

11．橢圓E經過點A（2，3），對稱軸為坐標軸，焦點F₁，F₂在x軸上，離心率e=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（2）過A點，且斜率為2的直線交橢圓于B點．求左焦點到直線AB的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用離心率e=$\frac{1}{2}$，可得b²=3c²，設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，把A（2，3）代入，即可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過A點，且斜率為2的直線交橢圓于B點，∴直線AB：2x-y-1=0，利用距離公式求左焦點F₁（-2，0）到直線AB的距離d．

解答 解：（Ⅰ）離心率e=$\frac{1}{2}$，可得b²=3c²，設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，把A（2，3）代入得c²=4，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（Ⅱ）過A點，且斜率為2的直線交橢圓于B點，∴直線AB：2x-y-1=0
左焦點F₁（-2，0）到直線AB的距離d=$\frac{|-2×2-0-1|}{\sqrt{5}}=1$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查直線方程，點到直線的距離公式，屬于中檔題．