Question

（2013•石景山區二模）已知函數f（x）=x-[x]，其中[x]表示不超過實數x的最大整數．若關于x的方程f（x）=kx+k有三個不同的實根，則實數k的取值范圍是（　�。�

• A．[-1，-

  1

  2

  )∪(

  1

  4

  ，

  1

  3

  ]
• B．(-1，-

  1

  2

  ]∪[

  1

  4

  ，

  1

  3

  )
• C．[-

  1

  3

  ，-

  1

  4

  )∪(

  1

  2

  ，1]
• D．(-

  1

  3

  ，-

  1

  4

  ]∪[

  1

  2

  ，1)

Answer 1

分析：由已知中函數f（x）=x-[x]，可畫出滿足條件的圖象，結合y=kx+k表示恒過A（-1，0）點斜率為k的直線，數形結合可得方程f（x）=kx+k有3個相異的實根．則函數f（x）=x-[x]與函數f（x）=kx+k的圖象有且僅有3個交點，進而得到實數k的取值范圍．

解答：解：函數f（x）=x-[x]的圖象如下圖所示：

y=kx+k表示恒過A（-1，0）點斜率為k的直線
若方程f（x）=kx+k有3個相異的實根．
則函數f（x）=x-[x]與函數f（x）=kx+k的圖象有且僅有3個交點
由圖可得：
當y=kx+k過（2，1）點時，k=

1

3

，
當y=kx+k過（3，1）點時，k=

1

4

，
當y=kx+k過（-2，1）點時，k=-1，
當y=kx+k過（-3，1）點時，k=-

1

2

，
則實數k滿足

1

4

≤k＜

1

3

或-1＜k≤-

1

2

．
故選B．

點評：本題考查的知識點是根據根的存在性及根的個數的判斷，其中將方程的根轉化為函數的零點，然后利用圖象法結合數形結合的思想，分析函數圖象交點與k的關系是解答本題的關鍵．