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若圓C過點M（0，1）且與直線相切，設圓心C的軌跡為曲線E，A、B（A在y軸的右側）為曲線E上的兩點，點，且滿足

   （Ⅰ）求曲線E的方程；

   （Ⅱ）若t=6，直線AB的斜率為，過A、B兩點的圓N與拋物線在點A處共同的切線，求圓N的方程；

   （Ⅲ）分別過A、B作曲線E的切線，兩條切線交于點，若點恰好在直線上，求證：t與均為定值.

 

【答案】

（Ⅰ）.（Ⅱ）.（Ⅲ）t與均為定值.

【解析】（I）由于圓心C到定點M的距離與到定直線y=-1的距離相等，所以其軌跡為拋物線其方程為.

(II)因為t=6,所以直線AB的斜率為,直線AB的方程是.然后與拋物線方程聯立求出A、B的坐標.再利用導數求出點A處的切線的斜率，進而確定NA的斜率，求出NA的方程.再求出AB的垂直平分線方程與NA的方程聯立，可求出圓心N的坐標，進而可求出半徑的值，寫出圓N的方程.

(III) 設,由題意可知,從而可知是方程即的兩根,得到,

再根據A，P，B共線,斜率相等可求出t的值.

然后根據

可證明也為定值

 

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

若圓C過點M（0，1）且與直線l：y=-1相切，設圓心C的軌跡為曲線E，A、B為曲線E上的兩點，點P(0，t)(t＞0)，且滿足
AP
=λ
PB
(λ＞1)．
（I）求曲線E的方程；
（II）若t=6，直線AB的斜率為
1
2
，過A、B兩點的圓N與拋物線在點A處共同的切線，求圓N的方程；
（III）分別過A、B作曲線E的切線，兩條切線交于點Q，若點Q恰好在直線l上，求證：t與
QA
•
QB
均為定值．

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年河北省高三上學期期末考試理科數學（解析版） 題型：解答題

．（本題滿分12分）若圓C過點M（0，1）且與直線相切，設圓心C的軌跡為曲線E，A、B為曲線E上的兩點，點

（I）求曲線E的方程；    （II）若t=6，直線AB的斜率為，過A、B兩點的圓N與拋物線在點A處共同的切線，求圓N的方程；

（III）分別過A、B作曲線E的切線，兩條切線交于點Q，若點Q恰好在直線上，求證：t與均為定值。

 

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年湖北省“鄂南高中、華師一附中、黃岡中學、黃石二中、荊州中學、襄樊四中、襄樊五中、孝感高中”八校高三第二次聯考數學試卷（理科））（解析版） 題型：解答題

若圓C過點M（0，1）且與直線l：y=-1相切，設圓心C的軌跡為曲線E，A、B為曲線E上的兩點，點．
（I）求曲線E的方程；
（II）若t=6，直線AB的斜率為，過A、B兩點的圓N與拋物線在點A處共同的切線，求圓N的方程；
（III）分別過A、B作曲線E的切線，兩條切線交于點Q，若點Q恰好在直線l上，求證：t與均為定值．

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科目：高中數學 來源：2011年廣東省高考數學模擬試卷3（理科）（解析版） 題型：解答題

若圓C過點M（0，1）且與直線l：y=-1相切，設圓心C的軌跡為曲線E，A、B為曲線E上的兩點，點．
（I）求曲線E的方程；
（II）若t=6，直線AB的斜率為，過A、B兩點的圓N與拋物線在點A處共同的切線，求圓N的方程；
（III）分別過A、B作曲線E的切線，兩條切線交于點Q，若點Q恰好在直線l上，求證：t與均為定值．

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