Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上項點為B₁，右、右焦點為F₁、F₂，△B₁F₁F₂是面積為

3

的等邊三角形．
（I）求橢圓C的方程；
（II）已知P（x₀，y₀）是以線段F₁F₂為直徑的圓上一點，且x₀＞0，y₀＞0，求過P點與該圓相切的直線l的方程；
（III）若直線l與橢圓交于A、B兩點，設△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分別為G、H，請問原點O在以線段GH為直徑的圓內嗎？若在請說明理由．

Answer 1

（I）∵

1

2

b•2c=

3

，a=2c，a²=b²+c²．
解得c²=1，b²=3，a²=4，
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）∵F₁F₂是圓的一條直徑，∴圓的方程為x²+y²=1，
又P（x₀，y₀）是該圓在第一象限部分上的切線的切點，
∴kl•

y0

x0

=-1，解得kl=-

x0

y0

．
∴切線方程為y-y0=-

x0

y0

(x-x0)，又

x

20

+

y

20

=1，
化為l：x₀x+y₀y-1=0．
∴切線方程為l：x₀x+y₀y-1=0．
（III）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則G(

x1

3

，

y1

3

)，H(

x2

3

，

y2

3

)．
若原點O在以線段GH為直徑的圓內，則

OH

•

OG

＜0，即

x1x2

9

+

y1y2

9

＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0，
下面給出證明：聯立

x0x+y0y-1=0 x2 4 + y2 3 =1

，
消去x整理為(4

x

20

+3

y

20

)y2-6y0y+3-12

x

20

=0，
∴y1+y2=

6y0

4 x 20 +3 y 20

，y1y2=

3-12 x 20

4 x 20 +3 y 20

，
∴x1x2=

1-y0y1

x0

•

1-y0y2

x0

=

1-y0(y1+y2)+ y 20 y1y2

x 20

=

4-12 y 20

4 x 20 +3 y 20

，
∴x₁x₂+y₁y₂=

7-12( x 20 + y 20 )

4 x 20 +3 y 20

=-

5

x 20 +3

＜0．
∴原點O在以線段GH為直徑的圓內．