Question

平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）右焦點的直線x+y-

3

=0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為

1

2

．
（Ι）求M的方程
（Ⅱ）C，D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）把右焦點（c，0）代入直線可解得c．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點P（x₀，y₀），利用“點差法”即可得到a，b的關系式，再與a²=b²+c²聯立即可得到a，b，c．
（II）由CD⊥AB，可設直線CD的方程為y=x+t，與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系，即可得到弦長|CD|．把直線x+y-

3

=0與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系，即可得到弦長|AB|，利用S_{四邊形ACBD}=

1

2

|AB| |CD|即可得到關于t的表達式，利用二次函數的單調性即可得到其最大值．

解答：解：（I）把右焦點（c，0）代入直線x+y-

3

=0得c+0-

3

=0，解得c=

3

．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點P（x₀，y₀），
則

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1，相減得

x 2 1 - x 2 2

a2

+

y 2 1 - y 2 2

b2

=0，
∴

x1+x2

a2

+

y1+y2

b2

×

y1-y2

x1-x2

=0，
∴

2x0

a2

+

2y0

b2

×(-1)=0，又kOP=

1

2

=

y0

x0

，
∴

1

a2

-

1

2b2

=0，即a²=2b²．
聯立得

a2=2b2 a2=b2+c2 c= 3

，解得

b2=3 a2=6

，
∴M的方程為

x2

6

+

y2

3

=1．
（II）∵CD⊥AB，∴可設直線CD的方程為y=x+t，
聯立

y=x+t x2 6 + y2 3 =1

，消去y得到3x²+4tx+2t²-6=0，
∵直線CD與橢圓有兩個不同的交點，
∴△=16t²-12（2t²-6）=72-8t²＞0，解-3＜t＜3（*）．
設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），∴x3+x4=-

4t

3

，x3x4=

2t2-6

3

．
∴|CD|=

(1+12)[(x3+x4)2-4x3x4]

=

2[(- 4t 3 )2-4× 2t2-6 3 ]

=

2 2 • 18-2t2

3

．
聯立

x+y- 3 =0 x2 6 + y2 3 =1

得到3x²-4

3

x=0，解得x=0或

4

3

3

，
∴交點為A（0，

3

），(

4

3

3

，-

3

3

)，
∴|AB|=

( 4 3 3 -0)2+(- 3 3 - 3 )2

=

4 6

3

．
∴S_{四邊形ACBD}=

1

2

|AB| |CD|=

1

2

×

4 6

3

×

2 2 • 18-2t2

3

=

8 3 • 18-2t2

9

，
∴當且僅當t=0時，四邊形ACBD面積的最大值為

8

3

6

，滿足（*）．
∴四邊形ACBD面積的最大值為

8

3

6

．

點評：本題綜合考查了橢圓的定義、標準方程及其性質、“點差法”、中點坐標公式、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到一元二次方程根與系數的關系、弦長公式、四邊形的面積計算、二次函數的單調性等基礎知識，考查了推理能力、數形結合的思想方法、計算能力、分析問題和解決問題的能力．