Question

已知函數(shù)f(x)=x+(t＞0).

（1）當(dāng)t=2時(shí)，求函數(shù)f(x)單調(diào)增區(qū)間.

（2)過點(diǎn)P(1，0)作曲線y=f(x)的兩條切線PM、PN，切點(diǎn)分別為M、N,是否存在t，使得PM⊥PN?若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（1）當(dāng)t=2時(shí),f(x)=x+,f′(x)=1,當(dāng)f′(x)＞0時(shí),即1＞0,∴x＞或x＜-,

即函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,+∞)∪(-∞,-).

（2）假設(shè)存在t使得PM⊥PN，∵點(diǎn)P不在曲線f(x)上,

從而設(shè)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為(x₁,x₁+),(x₂,x₂+),

過點(diǎn)M的切線PM的斜率為f′(x₁)=1.

又∵切線PM的斜率為,

∴=1.

整理得x₁²+2tx₁-t=0,同理可得x₂²+2tx₂-t=0.

∴x₁,x₂是方程x²+2tx-t=0的兩根.∴由韋達(dá)定理可得：

∵PM⊥PN,∴(1)·(1)=-1.

∴=-1.③

將①、②代入③并解得t=.

∴存在t=使PM⊥PN.