Question

已知函數f(x)=4sinxcos(x-

π

6

)-1，(x∈R)．
（I）求函數f（x）在區間[0，

π

2

]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f(θ)=

24

13

，θ∈[

π

3

，

7π

12

]，求cos(2θ-

π

6

)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用兩角差的正弦函數以及二倍角公式化簡函數我一個角的一個三角函數的形式，利用函數的單調性求出函數的最值．
（Ⅱ）通過函數的表達式，利用f(θ)=

24

13

，θ∈[

π

3

，

7π

12

]，求出2θ-

π

6

的范圍，通過平方關系式求出所求結果．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知f(x)=4sinxcos(x-

π

6

)-1
=2

3

sinxcosx+2sin²x-1
=2sin（2x-

π

6

）．
因為f（x）=2sin（2x-

π

6

）在區間[0，

π

3

]上為增函數，
在區間[

π

3

，

π

2

]時為減函數，
又f（0）=-1，f（

π

3

）=2，f（

π

2

）=1，
函數f（x）在區間[0，

π

2

]上的最大值2，最小值-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=2sin（2x-

π

6

），f(θ)=

24

13

，θ∈[

π

3

，

7π

12

]，
2sin（2θ-

π

6

）=

12

13

，θ∈[

π

3

，

7π

12

]，2θ-

π

6

∈[

π

2

，π]，
從而cos（2θ-

π

6

）=

1-sin2(2θ- π 6 )

=

5

13

．

點評：本題考查三角函數的化簡求值，兩角和與差的三角函數，考查計算能力．