Question

設函數f（x）=x²-（a+2）x+alnx，（其中a＞0）
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）的極小值；
（Ⅱ）當a=4時，給出直線l₁：5x+2y=m=0和l₂：3x-y+n=0，其中m，n為常數，判斷直線l₁或l₂中，是否存在函數f（x）的圖象的切線，若存在，求出相應的m或n的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）當a=1時，f′（x）=2x-3+=，
當時，f′（x）＞0；當時，f′（x）＜0；
當x＞1時，f′（x）＞0．
所以當x=1時，f（x）取極小值-2．                    
（Ⅱ）當a=4時，f′（x）=2x-6+，∵x＞0，
∴f′（x）=2x+-6≥，
故l₁或l₂中，不存函數圖象的切線．
由2x+-6=3得x=，或x=4，
當x=時，可得n=，
當x=4時，可得n=4ln4-20．                  
分析：（Ⅰ）把a=1代入，求導數，由導數的正負可得單調區間，進而可得極值；
（Ⅱ）把a=4代入可得導數≥，故l₁或l₂中，不存函數圖象的切線，令導數=3，可得n值．
點評：本題考查導數的幾何意義與函數的極值，屬中檔題．