Question

已知拋物線C：y²=4x與直線y=2x-4交于A，B兩點．
（1）求弦AB的長度；
（2）若點P在拋物線C上，且△ABP的面積為12，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用弦長公式即可求得弦AB的長度；
（2）設點P(

yo2

4

，yo)，利用點到直線的距離公式可表示出點P到AB的距離d，S_△PAB=

1

2

•3

5

•d=12，解出即可；

解答：解：（1）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

y=2x-4 y2=4x

得x²-5x+4=0，△＞0．
由韋達定理有x₁+x₂=5，x₁x₂=4，
∴|AB|=

1+22

|x1-x2|=

1+22

•

(x1+x2)2-4x1x2=

5

•

25-16

=3

5

，
所以弦AB的長度為3

5

．
（2）設點P(

yo2

4

，yo)，設點P到AB的距離為d，則d=

| yo2 2 -yo-4|

5

，
∴S_△PAB=

1

2

•3

5

•

| yo2 2 -yo-4|

5

=12，即|

yo2

2

-yo-4|=8．
∴

yo2

2

-yo-4=±8，解得y_o=6或y_o=-4
∴P點為（9，6）或（4，-4）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、點到直線的距離公式及三角形的面積公式，考查學生的計算能力，屬中檔題．