Question

若正數項數列的前項和為，首項，點在曲線上.

（1）求；

（2）求數列的通項公式；

（3）設,表示數列的前項和,若恒成立，求及實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1），.；（2）；（3），.

【解析】

試題分析：（1）分別取和，可求；（2）將點P代入曲線方程，化簡，可得：，從而數列是以為首項，1為公差的等差數列，可求得；（3）用裂項相消法可求解.

試題解析：（1）因為點在曲線上，所以.

分別取和，得到，

由解得，.

（2）由得.

所以數列是以為首項，1為公差的等差數列

所以，   即

由公式，得

所以

（3）因為，所以，

顯然是關于的增函數， 所以有最小值

由于恒成立，所以，

于是的取值范圍為.

考點：（1）數列前n項和與通項公式之間的關系；（2）等差數列的證明，等差數列的通項公式；（3）裂項相消法.