Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x²，若在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A．[

  1

  4

  ，

  1

  3

  )
• B．(0，

  1

  2

  )
• C．(0，

  1

  4

  ]
• D．(

  1

  3

  ，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：根據(jù)f（x+1）=-f（x），可得f（x）是周期為2的周期函數(shù)． 再由f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x²，可得函數(shù)在[-1，3]上的解析式．根據(jù)題意可得
函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx+k 有4個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），故有f（x+2）=f（x），故f（x）是周期為2的周期函數(shù)．再由f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x²，
可得當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=x²，故當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x²，當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）=（x-2）²．
由于函數(shù)g（x）=f（x）-kx-k有4個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx+k 有4個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：
把點(diǎn)（3，1）代入y=kx+k，可得k=

1

4

，數(shù)形結(jié)合可得實(shí)數(shù)k的取值范圍是 （0，

1

4

]，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的周期性的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．