Question

14．已知平面向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$滿足$\overrightarrow a•\overrightarrow b=3$，$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2$，且$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）•（\overrightarrow b-\overrightarrow c）=0$，則$|{\overrightarrow c}|$的取值范圍是（　　）

• A． [0，2]
• B． [1，3]
• C． [2，4]
• D． [3，5]

Answer 1

分析 由$\overrightarrow a•\overrightarrow b=3$，$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2$，可得$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$．由$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）•（\overrightarrow b-\overrightarrow c）=0$，可得${\overrightarrow{c}}^{2}$=$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$$•\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|$cosα-3，設(shè)α為$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{c}$的夾角．化簡即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow a•\overrightarrow b=3$，$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2$，∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=4．
∵$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）•（\overrightarrow b-\overrightarrow c）=0$，∴${\overrightarrow{c}}^{2}$=$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$$•\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|$cosα-3，設(shè)α為$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{c}$的夾角．
∴cosα=$\frac{|\overrightarrow{c}{|}^{2}+3}{4|\overrightarrow{c}|}$∈[-1，1]，
解得$|\overrightarrow{c}|$∈[1，3]．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．