Question

如圖：橢圓

x2

49

+

y2

b2

=1（0＜b＜7）與雙曲線x²-

y2

n2

=1有相同的焦點F₁，F₂，且∠F₁PF₂=90°，P是兩曲線的一個公共點，則|F₁F₂|的值為（　　）

A．6

B．8

C．10

D．12

Answer 1

分析：由橢圓和雙曲線的定義得到P點到兩個焦點距離的和與差，聯立方程組分別求出兩個距離，然后直接由勾股定理求得答案．

解答：解：設F₁（-c，0），F₂（c，0）．
由橢圓

x2

49

+

y2

b2

=1（0＜b＜7），知其半長軸長為7．
由雙曲線x²-

y2

n2

=1，知，其實半軸長為1．
不妨設P為兩曲線在第一象限內的公共點，
則|PF₁|+|PF₂|=14，|PF₁|-|PF₂|=2．
解得|PF₁|=8，|PF₂|=6．
因為∠F₁PF₂=90°，所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=8²+6²=100．
所以|F₁F₂|=10．
故選C．

點評：本題是圓錐曲線的綜合題，考查了橢圓和雙曲線的定義，訓練了勾股定理，是中檔題．