Question

對于函數，若存在∈R，使成立，則稱為的不動點．

    如果函數＝有且僅有兩個不動點0和2．

（1）試求b、c滿足的關系式；

（2）若c＝2時，各項不為零的數列{a_n}滿足4S_n·＝1，

求證：＜＜；

   （3）在(2)的條件下, 設b_n＝－，為數列{b_n}的前n項和，

        求證：．

Answer 1

解： (1)設

∴      

(2)∵c＝2   ∴b＝2    ∴，

由已知可得2S_n＝a_n－a_n²……①，且a_n ≠ 1．

當n ≥ 2時，2 S_{n -1}＝a_n－1－……②，

①－②得(a_n＋a_n－1)( a_n－a_n－1＋1)＝0，

∴a_n＝－a_n－1   或  a_n＝－a_n－1 ＝－1，                            

當n＝1時，2a₁＝a₁－a₁² a₁＝－1，

若a_n＝－a_n－1，則a₂＝1與a_n ≠ 1矛盾．∴a_n－a_n－1＝－1， ∴a_n＝－n．

∴要證不等式，只要證 ，即證 ，

只要證 ，即證 ．

考慮證不等式(x＞0) . (**)                

令g(x)＝x－ln(1＋x)， h(x)＝ln(x＋1)－  (x＞0) ．

∴＝， ＝，

∵x＞0，  ∴＞0，   ＞0，∴g(x)、h(x)在(0, ＋∞)上都是增函數，

∴g(x)＞g(0)＝0， h(x)＞h(0)＝0，∴x＞0時，．

令則(**)式成立，∴＜＜，        

(3)由(2)知b_n＝，則T_n＝．

在中，令n＝1，2，3，，2008，并將各式相加，

得，

即T₂₀₀₉－1＜ln2009＜T₂₀₀₈．