Question

【題目】已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=4．

（Ⅰ）過原點O（0，0）作圓C的切線，切點分別為H、K，求直線HK的方程；

（Ⅱ）設定點M（-3，8），動點N在圓C上運動，以CM，CN為領邊作平行四邊形MCNP，求點P的軌跡方程；

（Ⅲ）平面上有兩點A（1，0），B（-1，0），點P是圓C上的動點，求|AP|2+|BP|2的最小值；

（Ⅳ）若Q是x軸上的動點，QR，QS分別切圓C于R，S兩點．試問：直線RS是否恒過定點？若是，求出定點坐標，若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）3x+4y-21=0；（Ⅱ）（x+3）2+（y-8）2=4（x）；（Ⅲ）20； （Ⅳ）（3，3）.

【解析】

（Ⅰ）求出圓心坐標，寫出以為直徑的圓的方程，與已知圓的方程聯立消去二次項即可得答案；（Ⅱ）設、，，根據中點坐標公式算出、中點坐標關于、和、的式子，根據平行四邊形對角線互相平分建立關系式，解出用、表示、的式子，最后將點坐標代入已知圓方程，化簡即得所求點的軌跡方程，最后檢驗去除雜點，可得答案；（Ⅲ）根據圓的標準方程，設出點的坐標，然后利用兩點間距離公式，得到的表達式，即可求得的最小值；（Ⅳ）寫出以為直徑的圓的方程，與圓聯立得：，再由直線系方程得答案．

（Ⅰ）由圓C：（x-3）2+（y-4）2=4，得圓心C（3，4），

則以OC為直徑的圓的方程為，

聯立，得3x+4y-21=0．

∴直線HK的方程為3x+4y-21=0；

（Ⅱ）設P（x，y），圓上的動點N（x0，y0），則

線段CP的中點坐標為（，），線段MN的中點坐標為（，），

又∵平行四邊形的對角線互相平分，

∴=，=，

可得x0=x+6，y0=y-4．

∵N（x0，y0），即N（x+6，y-4）在圓上，

∴N點坐標應滿足圓的方程，

則點P的軌跡方程為：（x+3）2+（y-8）2=4（x）；

（Ⅲ）設P（x，y），由兩點間的距離公式知：|AP|2+|BP|2=2（x2+y2）+2=2|OP|2+2．

又P為圓上的點，∴|OP|min=|OC|-r=-2=3，

∴（|AP|2+|BP|2）min=20；

（Ⅳ）由題意∠CSQ=∠CRQ=，則R，S在以QC為直徑的圓上，

設Q（a，0），則以QC為直徑的圓的方程：（x-）2+（y-2）2=，

即x2+y2-（a+3）x-4y+3a=0，

與圓C：x2+y2-6x-8y+21=0聯立得：-a（x-3）+3x+4y-21=0，

故無論a取何值時，直線RS恒過定點（3，3）．