Question

已知拋物線y²=4px（p＞0），O為頂點，A、B為拋物線上的兩動點，且滿足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M點，求點M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：法一：因為A、B兩點在拋物線上，故可設A（，y₁）、B（，y₂）．OA⊥OB可得A、B的縱坐標之積、橫坐標之積均為定值，由OM⊥AB可知OM和AB斜率之積為-1，且M點在直線AB上，求出M點的軌跡方程；
法二：直接設出直線AB的方程：y=kx+b，與拋物線聯立，利用維達定理及條件OA⊥OB可推出b與k的聯系，再由OM⊥AB得k=-代入直線方程即可．
解答：解：設M（x，y），則k_OM=，k_AB=-，
直線AB方程是y=-（x-x）+y．
由y²=4px可得x=，將其代入上式，整理，得
xy²-（4py）y-4py²-4px²=0．①
此方程的兩根y₁、y₂分別是A、B兩點的縱坐標，∴A（，y₁）、B（，y₂）．
∵OA⊥OB，∴k_OA•k_OB=-1．∴•=-1．∴y₁y₂=-16p²．
根據根與系數的關系，由①可得
y₁•y₂=，∴=16p²．
化簡，得x²+y²-4px=0，
即x²+y²-4px=0（除去原點）為所求．
∴點M的軌跡是以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點．
法二：設M（x，y），直線AB方程為y=kx+b，
由OM⊥AB得k=-．
由y²=4px及y=kx+b消去y，得
k²x²+x（2kb-4p）+b²=0．
所以x₁x₂=．消去x，得ky²-4py+4pb=0．所以y₁y₂=．由OA⊥OB，
得y₁y₂=-x₁x₂，所以=-，b=-4kp．
故y=kx+b=k（x-4p）．用k=-代入，得
x²+y²-4px=0（x≠0）．
∴點M的軌跡是以（2p，0）為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點．
點評：本題考查軌跡方程的求法：參數法，綜合性強，計算量較大，很好的考查了推理判斷能力和運算求解能力．