Question

已知P是拋物線y²=2x上的點，點M（m，0），試求點P與點M的距離的最小值（其中m∈R）．

Answer 1

分析：先設P點坐標為（x₀，y₀），利用兩點間的距離公式求出點P與點M的距離的表達式；再結合二次函數在固定區間上的最值求法即可求出點P與點M的距離的最小值．

解答：解：設P點坐標為（x₀，y₀），
則d=|PM|=

(x0-m)2+(y0-0)2

=

x02+y02-2mx0+m2

=

x02+(2-2m)x0+m2

(x0≥0)
令t=x₀²+（2-2m）x₀+m²（x₀≥0）則其對稱軸為x₀=m-1
（1）當m-1＜0即m＜1時
t=x₀²+（2-2m）x₀+m²在x₀≥0時為增函數，
所以dmin=

t|x0=0

=|m|=m
（2）當m-1≥0即m≥1時，
t=x₀²+（2-2m）x₀+m²（x₀≥0）在（0，m-1）上遞減，在（m-1，+∞）上遞增，
所以：dmin=

t|xo=m-1

=

2m-1

綜上所述，當m＜1，點P與點M的距離的最小值為m；
          當m≥1，點P與點M的距離的最小值為

2m-1

．

點評：本題主要考查二次函數在固定區間上的最值求法．在求二次函數在固定區間上的最值時，一定要注意分對稱軸在區間左邊，對稱軸在區間右邊以及對稱軸在區間中間三種情況來討論，以免出錯．