Question

若二次函數滿足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在R上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）二次函數滿足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1，設其方程為y=ax²+bx+1，代入f（x+1）-f（x）=2x，整理后利用同一性求出系數，
（2）不等式f（x）＞2x+m恒成立，即f（x）-2x-m＞0恒成立，由判別式求參數即可

解答：解：（1）由題意，設其方程為y=ax²+bx+1代入f（x+1）-f（x）=2x恒成立，整理得2ax+a+b=2x恒成立，既得

2a=2 a+b=0

解得

a=1 b=-1

故f（x）=x²-x+1
（2）在R上不等式f（x）＞2x+m恒成立，即x²-3x+1-m＞0恒成立，故△=9-4（1-m）＜0，解得m＜-

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點評：本題考查函數解析式的求解及常用方法，解題的關鍵是了解二次函數的解析式的結構利用待定系數法設出解析式，再代入所給的條件求出參數，在第二問，求解的關鍵是整理成一個二次函數函數值恒正的問題，如此則可以轉化為用判別式求解參數的范圍，本題訓練了轉化化歸能力