Question

設p：關于x的函數f（x）=x²+2ax+3在（-1，+∞）上為增函數；q：不等式-2^x≤a對一切正實數x恒成立．
（1）若q為真命題，求實數a的取值范圍；
（2）“p或q”為真命題，“p且q為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據題意求出命題p、q為真時a的范圍分別為a≥0、a≥1．由p∨q為真，p∧q為假得：p真q假或p假q真，進而求出答案即可．

解答：解：（1）當q為真命題時，由2^x＞0，得-2^x＜0，不等式-2^x≤a對一切正實數x恒成立⇒a≥0，
∴實數a的取值范圍是[0，+∞）；
（2）∵函數f（x）=x²+2ax+3在（-1，+∞）上為增函數，∴-a≤-1⇒a≥1，
∴命題p為真命題時，a≥1，
由“p或q”為真命題，“p且q為假命題，得p、q一真一假．
①當p真q假時，則

a≥0 a＜1

⇒0≤a＜1，
②當p假q真時，則

a＜0 a≥1

，無解，
綜上實數a的取值范圍是[0，1）．

點評：解題的關鍵是熟練掌握復合命題的真假規律，求得簡單命題為真時a的范圍．