Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，它的離心率是雙曲線的離心率的倒數.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過橢圓的右焦點作直線交橢圓于、兩點，交軸于點，若，，求證：為定值.

Answer 1

【答案】(1) .

(2)見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）設橢圓的方程為，拋物線方程為，其焦點為，根據題意求得，進而根據離心率求得，即可得到橢圓的方程；

（Ⅱ）設，，，設直線的方程為，代入橢圓的方程，利用韋達定理，得，進而得到向量的坐標，根據，，即可求解的值.

詳解：（Ⅰ）設橢圓的方程為，拋物線方程為，其焦點為，

則橢圓的一個頂點為，即，由，

∴，所以橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）證明：易求出橢圓的右焦點，

設，，，顯然直線的斜率存在，

設直線的方程為，代入方程，

整理得，∴，，

又，，，，

而，，

即，，

∴，，所以 .