Question

已知函數(shù)f(x)=2sin²x+sin2x,x∈R.

(1)求函數(shù)f(x)的最大值、最小值及單調(diào)增區(qū)間;

(2)函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)y=sinx,x∈R的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到的?

分析:解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是把函數(shù)f(x)轉(zhuǎn)化成一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式.

Answer 1

解:(1)f(x)=1-cos2x+sin2x=1+sin(2x-).

∵-1≤sin(2x-)≤1,

∴1-≤f(x)≤1+.

∴函數(shù)f(x)的最大值是1+,最小值是1-.

由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),

解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為［kπ-,kπ+］,k∈Z.

(2)將函數(shù)y=sinx的圖象依次進(jìn)行如下變換:

①把函數(shù)y=sinx的圖象向右平移,得到函數(shù)y=sin(x-)的圖象;

②把得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)y=sin(2x-)的圖象;

③把得到的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)y=sin(2x-)的圖象;

④把得到的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)y=1+sin(2x-)的圖象.

綜上得到函數(shù)f(x)=2sin²x+sin2x的圖象.