Question

某公司對工廠A的一批產品進行了抽樣檢測．右圖是根據抽樣檢測后的產品凈重（單位：克）數據繪制的頻率分布直方圖，其中產品凈重的范圍是[96，106]，樣本數據分組為[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]．
（1）求圖中x的值；
（2）若將頻率視為概率，從這批產品中有放回地隨機抽取3件，求至多有2件產品的凈重在[96，98）的概率；
（3）經過考察后，該公司決定在2011年年初投資到工廠A50萬元，到年底可能獲利32%，也可能虧損16%，且這兩種情況發生的概率分別為合格產品和不合格產品的概率（若產品凈重在[98，104）為合格產品，其余為不合格產品）．設2011年底公司的投資總資產（本金+利潤）為ξ，求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（1）根據頻率分布直方圖中，各矩形的面積和（頻率和）為 1，我們易構造關于x的方程，解方程求出x的值，
（2）從這批產品中有放回地隨機抽取3件，求至多有2件產品的凈重在[96，98）分為沒有產品滿足條件，有1件產品滿足條件，有2件產品滿足條件，三種情況由（1）的結論，我們可求出抽取的產品凈重在[96，98）的概率，代入相互獨立事件概率乘法公式，即可得到答案．
（3）由于 該公司決定在2011年年初投資到工廠A50萬元，到年底可能獲利32%，也可能虧損16%，故ξ的取值有66和42兩種情況，構造隨機變量ξ的分布列，代入數學期望公式，即可得到答案．

解答：解：（1）依題意及頻率分布直方圖知，（x+0.075+0.100+0.125+0.15）×2=1，（2分）
解得x=0.05…（3分）
（2）設所抽取到得產品的件數為X，由題意知，X～B（3，0.1），因此

P(X=0)= C 0 3 ×0.93=0.729 P(X=1)= C 1 3 ×0.1×0.92=0.243 P(X=2)= C 2 3 ×0.12×0.9=0.027

…（5分）
所以至多有2件產品的凈重在[96，98）的概率P=P（x=0）+P（x=1）+P（x=2）=0.729+0.234+0.027=0.999．…（7分）
（3）ξ可能的值為：50×（1+32%）=66（萬元）
50×（1-16%）=42（萬元）    …（8分）
P(ξ=66)=

3

4

P(ξ=42)=

1

4

…（10分）

ξ	66	42
P	3 4	1 4

故ξ的分布列為
…（11分）∴Eξ=66×

3

4

+42×

1

4

=60（萬元）．…（12分）

點評：本題主要考查頻率分布直方圖、二項分布、離散型隨機變量的期望等知識，立足考查數據處理能力、計算能力和解決實際問題的能力．