Question

（本小題16分）
已知數(shù)列滿足：（為常數(shù)），數(shù)列中，。
（1）求；
（2）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
（3）求證：數(shù)列中存在三項構成等比數(shù)列時，為有理數(shù)。

Answer 1

（1）；；
（2）證明見解析
（3）證明見解析

（1）由已知，得，
，。                          ……………………4分
（2），

∴，又，
∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列。……………………9分
（3）證明：由⑵知，     ……………………10分
若三個不同的項成等比數(shù)列，、、為非負整數(shù)，且，則，得，    ……………………12分
若，則，得==，這與矛盾。  …………………14分
若，則，∵、、為非負整數(shù)，∴是有理數(shù)。………16分