Question

已知定義在R上的奇函數f（x），若f（x）的導函數f'（x）滿足f'（x）＜x²+1，則不等式f(x)＜

1

3

x3+x的解集為（　　）

• A．[

  1

  3

  ，+∞)
• B．[0，

  1

  3

  )
• C．（0，+∞）
• D．[-∞，3）

Answer 1

分析：根據條件構造F（x）=f(x)-

1

3

x3-x，利用導數研究函數的單調性，不等式f(x)＜

1

3

x3+x可轉化成F（x）＜F（0），根據單調性即可確定結論．

解答：解：令F（x）=f(x)-

1

3

x3-x，
∵f'（x）＜x²+1，
∴F'（x）=f'（x）-x²-1＜0
∴F（x）在R上單調遞減
∵R上的奇函數f（x），∴f（0）=0
∴F（0）=0
∴不等式f(x)＜

1

3

x3+x可轉化成F（x）＜F（0）
根據F（x）在R上單調遞減，可得x＞0
故選C．

點評：本題考查學生利用導數研究函數單調性的能力，考查構造新函數解不等式，考查了轉化思想，屬于中檔題．