Question

18．如圖，BD⊥平面ABC，AE∥BD，AB=BC=CA=BD=2AE=2，F為CD中點．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面BCD
（Ⅱ）求點A到面CDE的距離；
（III）求二面角C-DE-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC中點G點，連接AG，FG，證明EF∥AG，AG⊥平面BCD，即可證明：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）取AB的中點O和DE的中點H，分別以$\overrightarrow{OC}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OH}$所在直線為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標系，利用向量方法求點A到面CDE的距離；
（III）利用向量的夾角公式求二面角C-DE-A的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：取BC中點G點，連接AG，FG，∵F，G分別為DC，BC中點，
∴FG∥BD且FG=$\frac{1}{2}$BD，又AE∥BD且AE=$\frac{1}{2}$BD，∴AE∥FG且AE=FG，
∴四邊形EFGA為平行四邊形，則EF∥AG，
∵BD⊥平面ABC，∴BD⊥AG，
∵G為 BC中點，且AC=AB，∴AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD，
∴EF⊥平面BCD．
（Ⅱ）解：取AB的中點O和DE的中點H，分別以$\overrightarrow{OC}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OH}$所在直線為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標系，則C（$\sqrt{3}$，0，0），D（0，1，2），
E（0，-1，1），A（0，-1，0），
∴$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），$\overrightarrow{ED}$=（0，2，1）．
設面CDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}x+y+2z=0}\\{2y+z=0}\end{array}\right.$
取$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-1，2），$\overrightarrow{AE}$=（0，0，1）
點A到面CDE的距離d=$\frac{2}{\sqrt{3+1+4}•1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（III）解：取面ABDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
由cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+1+4}×1}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，（9分）
故二面角C-DE-A的余弦值大小為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題考查線面垂直的判定，考查點到平面距離的計算，考查面面角，考查向量方法的運用，屬于中檔題．