Question

如圖，直線l₁和l₂相交于點M，l₁⊥l₂，點N∈l₁.以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l₂的距離與到點N的距離相等.若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立適當的坐標系，求曲線段C的方程

Answer 1

曲線段C的方程為y²＝8x（1≤x≤4，y＞0）．

解析:

如圖建立坐標系，以l₁為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點O為坐標原點.

依題意知：曲線段C是以點N為焦點，以l₂為準線的拋物線的一段，其中A、B分別為C的端點.

設曲線段C的方程為，y²=2px（p＞0），（x_A≤x≤x_B，y＞0）

其中x_A、x_B分別為A、B的橫坐標，p＝|MN|．所以M（，0），N（，0）

由|AM|＝，|AN|＝3得：

（x_A＋）²＋2px_A＝17             ①

（x_A）²＋2px_A＝9               ②

由①②兩式聯立解得x_A＝，再將其代入①式并由p>0，解得或

因為△AMN是銳角三角形，所以＞x_A，故舍去

所以p＝4，x_A＝1．由點B在曲線段C上，得x_B＝|BN|＝4．

綜上得曲線段C的方程為y²＝8x（1≤x≤4，y＞0）．