Question

【文科生做】已知圓E：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）證明不論m取什么實數，直線與圓恒交于兩點；
（2）設P（x，y）是圓E上任意一點，求x+y的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把直線l的方程變形后，根據直線l恒過定點，得到關于x與y的二元一次方程組，求出方程組的解即為直線l恒過的定點坐標，然后利用兩點間的距離公式求出此點到圓心的距離d，發現d小于圓的半徑，得到此點在圓內，故直線l與圓恒交于兩點；
（2）根據圓的參數形式表示出方程（x-1）²+（y-2）²=25，進而表述出x+y，再結合三角函數的最值可求得x+y的取值范圍．

解答：解：（1）由m（2x+y-7）+（x+y-4）=0知直線l恒過定點，
又

2x+y=7 x+y=4

⇒

x=3 y=1

，
∴直線l恒過定點A（3，1），且（3-1）²+（1-2）²=5＜25⇒A（3，1）必在圓內，
故直線l與圓恒有兩交點．
（2）因為（x-1）²+（y-2）²=25，
令y=2+5sinα，則x=1+5cosα
所以x+y=3+5（sinα+cosα）=5

2

sin（α+

π

4

）+3
∵sin（α+

π

4

）的最小值為-1，最大值為1，
所以x+y的取值范圍是：[3-5

2

，3+5

2

]．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，恒過定點的直線方程以及點與圓的位置關系．第一問的關鍵是求出直線l恒過的A點坐標，判定A在圓內；第二問關鍵是利用的參數形式進行解題．考查對圓的方程的另一種認識和運用．圓的參數形式有時可以給解題帶來很大方便，一定要理解其形式．