Question

已知f（x）=cos⁴x-sin⁴x，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和單調減區間；
（2）敘述y=sinx（x∈R）的圖象經過怎樣的變換得到f（x）的圖象．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由同角正余弦的關系式及余弦的倍角公式把原函數轉化為y=cosωx的形式，再利用y=cosωx的性質解決問題；
（2）先由y=sinx（x∈R）的圖象變換得到y=cosx（x∈R）的圖象，再變換得到y=cos2x（x∈R）的圖象．
解答：解：（1）f（x）=cos⁴x-sin⁴x
=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）
=1•cos2x
=cos2x
∴函數的最小正周期為T=π
∵2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，
∴，
∴f（x）的單調減區間為；
（2）先把y=sinx（x∈R）的圖象向左平移個單位得到y=cosx（x∈R）的圖象，
再把y=cosx（x∈R）的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，
即得到y=cos2x（x∈R）的圖象．
點評：本題考查同角正余弦的關系式及余弦的倍角公式，同時考查函數y=cosωx的性質及圖象變換．