Question

（文）設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：（m＞0，n＞0且m≠n）的兩個焦點．
（1）若橢圓C上的點A（1，）到兩個焦點的距離之和等于4，求橢圓C的方程．
（2）如果點P是（1）中所得橢圓上的任意一點，且，求△PF₁F₂的面積．
（3）若橢圓C具有如下性質(zhì)：設(shè)M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩點，點Q是橢圓上任意一點，且直線QM與直線QN的斜率都存在，分別記為K_QM、K_QN，那么K_QM和K_QN之積是與點Q位置無關(guān)的定值．試問：雙曲線（a＞0，b＞0）是否具有類似的性質(zhì)？并證明你的結(jié)論．通過對上面問題進一步研究，請你概括具有上述性質(zhì)的二次曲線更為一般的結(jié)論，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓定義先求m=，再根據(jù)點A（1，）在橢圓上求n的值，需要主要進行分類討論
（2）利用橢圓定義得 PF₁+PF₂=2m，PF₁²+PF₂²=4，從而有 PF₁PF₂=6，故可求△PF₁F₂的面積；
（3）設(shè)M，N是雙曲線（a＞0，b＞0）上關(guān)于原點對稱的兩點，點Q是橢圓上任意一點，且直線QM與直線QN的斜率都存在，利用點差法可證
解答：解：（1）當m＞n時，由橢圓定義得 2m=4，∴m=2（2分）
又點A（1，）在橢圓上  所以
∴ （3分）
同理，當m＜n時，橢圓方程 （4分）
（2）當m＞n時，由橢圓定義得 PF₁+PF₂=2m，PF₁²+PF₂²=4
解得  PF₁PF₂=6             （8分）
所以△PF₁F₂的面積為3
同理，當m＜n時，△PF₁F₂的面積也為3   （10分）
（3）設(shè)M，N是雙曲線（a＞0，b＞0）上關(guān)于原點對稱的兩點，點Q是橢圓上任意一點，且直線QM與直線QN的斜率都存在，分別記為K_QM，K_QN，那么K_QM，K_QN之積是與點Q位置無關(guān)的定值．
設(shè)點M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁）．Q（x，y）
則，
作差得（12分）
所以（14分）
設(shè)M，N是二次曲線mx²+ny²=1上關(guān)于原點對稱的兩點，點Q是二次曲線上任意一點，且直線QM與直線QN的斜率都存在，分別記為K_QM，K_QN，
那么     （15分）
證明  設(shè)點點M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁）．Q（x，y）
則mx₁²+ny₁²=1，mx²+ny²=1
作差得∴  （18分）
點評：本題的考點是橢圓的定義，主要考查橢圓的定義，考查三角形的面積，考查點差法求解斜率問題，綜合性較強．