Question

在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∠BAC=

π

2

，AB=AC=AA₁=1，已知G和E分別為A₁B₁和CC₁的中點，D與F分別為線段AC和AB上的動點（不包括端點），若GD⊥EF，則線段DF的長度的取值范圍為

[

5

5

，1)

．

Answer 1

分析：根據直三棱柱中三條棱兩兩垂直，本題考慮利用空間坐標系解決．建立如圖所示的空間直角坐標系，設出F、D的坐標，求出向量

DG

， 

EF

，利用GD⊥EF求得關系式，寫出DF的表達式，然后利用二次函數求最值即可．

解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（0，0，0），E（0，1，

1

2

），
G（

1

2

，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）由于
GD⊥EF，所以   x+2y-1=0
DF=

x2+y2

=

5y2-4y+1

=

5(y- 2 5 )2+ 1 5

當y=

2

5

時，線段DF長度的最小值是

1

5

當y=1時，線段DF長度的最大值是 1
而不包括端點，故y=1不能取；
故答案為：[

5

5

，1)．

點評：本小題主要考查點、線、面間的距離計算、棱柱的結構特征、空間直角坐標系等基礎知識，考查運算求解能力，考查空間想象能力．屬于基礎題．