Question

（09年西城區抽樣理）（14分）

 已知f (x)、g(x)都是定義在R上的函數，如果存在實數m、n使得h (x) = m f(x)+ng(x)，那么稱h (x)為f (x)、g(x)在R上生成的一個函數.

設f (x)=x²+ax，g(x)=x+b(R)，l(x)= 2x²+3x-1，h (x)為f (x)、g(x)在R上生成的一個二次函數.

（Ⅰ）設，若h (x)為偶函數，求；

（Ⅱ）設，若h (x)同時也是g(x)、l(x) 在R上生成的一個函數，求a+b的最小值；

（Ⅲ）試判斷h(x)能否為任意的一個二次函數，并證明你的結論.

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：設h(x) = m f(x)+ng(x)，

則,

因為為一個二次函數，且為偶函數,

所以二次函數的對稱軸為y軸，即，

所以，則，

則；                                            ------------3分

（Ⅱ）解：由題意, 設 (R, 且)

     由h (x)同時也是g(x)、l(x) 在R上生成的一個函數,

     知存在使得,

     所以函數,

     則,                                     ------------5分

消去, 得,

    因為, 所以,                                ----------7分

    因為b>0,

    所以  （當且僅當時取等號）,

    故a+b的最小值為.                                  -----------9分

（Ⅲ）結論：函數h(x)不能為任意的一個二次函數.

      以下給出證明過程.

      證明：假設函數h(x)能為任意的一個二次函數,

      那么存在m₁, n₁使得h(x)為二次函數y=x², 記為,

即；            ①

                                                                                                                         

同理，存在m₂, n₂使得h(x)為二次函數,記為,

即.                     ② 

      由②-①，得函數,

      令，化簡得對R恒成立,

      即對R恒成立,

      所以, 即，

      顯然，與矛盾,

      所以，假設是錯誤的，

故函數h(x)不能為任意的一個二次函數.                   ---------14分

      注：第（Ⅲ）問還可以舉其他反例.