Question

（本小題滿分14分）
已知函數
（1）判斷的單調性并證明；
（2）若滿足，試確定的取值范圍。
（3）若函數對任意時，恒成立，求的取值范圍。

Answer 1

解：（1）在上為增函數。（2）
（3）在上為增函數，所以最小值為。所以。

本試題主要是考查了函數的最值，和單調性的綜合運用，以及不等式的恒成立的問題的綜合運用。
（1）利用定義法設出變量，然后代入函數解析式得到差值，然后變形定號，下結論得到。
（2）在第一問的基礎上得到不等式的求解。
（3）要證明不等式恒成立，構造新函數利用函數的最小值大于等于零得到證明。
解：（1）由題得：，設，
則
 ，又，得
，即在上為增函數。
（2）由（1）得：在上為增函數，要滿足
只要，得
（3），由得：，即  ①，那么①式可轉化為所以題目等價于在上恒成立。即大于函數在上的最大值。即求在上的最小值。令，由（1）得
在上為增函數，所以最小值為。所以。