Question

已知函數.

(Ⅰ)求在處的切線方程；

(Ⅱ)求的單調區間；

（Ⅲ）若，求證：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）當，的單調增區間；當時,函數 的單調遞增區間是,單調遞減區間是；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求出導數及切點，利用直線的點斜式方程即可得切線方程.

（Ⅱ）將求導，利用求得其遞增區間，求得其遞減區間.

在本題中，，由得：.當, 的單調增區間；

當時,函數的單調遞增區間是,單調遞減區間是.

（Ⅲ）本題首先要考慮的是，所要證的不等式與函數有什么關系？待證不等式可做如下變形： ，最后這個不等式與有聯系嗎？我們往下看.

,所以在上是增函數.

因為，所以

即從這兒可以看出，有點聯系了.同理，

所以，

與待證不等式比較，只要問題就解決了，而這由重要不等式可證，從而問題得證.

試題解析：（Ⅰ），，所以切線為：即  3分

（Ⅱ），

，     4分

，,        5分

當，的單調增區間；     6分

當時,函數的單調遞增區間是,單調遞減區間是.   8分

（Ⅲ）,所以在上是增函數, 上是減函數

因為，所以

即,同理.

所以

又因為當且僅當“”時，取等號.

又，,

所以,所以，

所以：.      14分

考點：1、導數的應用；2、不等式的證明.