Question

如圖，已知橢圓C過點(diǎn)M（2，1），兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于OM的直線l交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A、B，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）試問直線MA、MB的斜率之和是否為定值，若為定值，求出以線段AB為直徑且過點(diǎn)M的圓的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設(shè)知半焦距，長半軸長，短半軸長，由此能得到橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，由知x²+2mx+2m²-4=0，得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4．由此入手能夠求出圓的方程．
解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)知：半焦距，
長半軸長，
短半軸長，于是橢圓C的方程是：；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由知x²+2mx+2m²-4=0，得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4；
∴為定值；
由線段AB為直徑且過點(diǎn)M的圓知：MA⊥MB有k_MA•k_MB=-1，得k_MA=1，k_MB=-1；
∴，又x₁+x₂=-2m；得；
∴，圓的方程為：
即：．
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法和圓與直線位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．