Question

已知數列{a_n}的通項公式為a_n=pn²+qn(p、q為常數),

(1)當p和q滿足什么條件時,數列{a_n}是等差數列;

(2)設b_n=a_n+1－a_n,求證:對任意實數p、q,數列{b_n}都是等差數列.

Answer 1

(1)解:設數列{a_n}是等差數列,則a_n+1－a_n=［p(n+1)²+q(n+1)］－(pn²+qn)=2pn+p+q應是一個與n無關的常數,所以有2p=0,即p=0,q∈R.

(2)證明:因為a_n+1－a_n=［p(n+1)²+q(n+1)］－(pn²+qn)=2pn+p+q,a_n+2－a_n+1=2p(n+1)+p+q,

所以b_n+1－b_n=(a_n+2－a_n+1)－(a_n+1－a_n)=［2p(n+1)+p+q］－(2pn+p+q)=2p(常數).

所以數列{b_n}是等差數列.

點評:等差數列定義的數學符號語言可表述為:在數列{a_n}中,若a_n+1－a_n=d(常數)對于任意的n∈N^*都成立,則數列{a_n}為等差數列,與a_n+1－a_n=d(n∈N^*)等價的式子還有a_n－a_n－1=d

(n≥2,n∈N^*),a_n－1－a_n－2=d(n≥3,n∈N^*),…,總之,只要能表示從差a₂－a₁開始,以及以后的差a₃－a₂,a₄－a₃,…都等于同一個常數即可.因此,證明數列{a_n}是否是等差數列,只需要證明以上等價表達式中其中之一成立即可.但a_n+2－a_n=d(n∈N^*)成立,不能說明數列{a_n}為等差數列,只能說這個數列從第2項起(即去掉第一項后)是一等差數列.如果要說明數列{a_n}不是等差數列,那么只需說明某兩個差a_m+1－a_m與a_n+1－a_n(m≠n)不相等(即不等同一個常數)即可,或者證明a_n+1－a_n是與n有關的表達式.