Question

17．過橢圓$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1的上焦點F₂作一條斜率為-2的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，則△AOB的面積為$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

Answer 1

分析 F₂（0，$\sqrt{3}$），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線方程為：y=-2x+$\sqrt{3}$．原點O到直線的距離d．直線方程與橢圓方程聯立化為：8x²-4$\sqrt{3}$x-1=0，|AB|=$\sqrt{5[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，利用S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|•d即可得出．

解答 解：F₂（0，$\sqrt{3}$），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直線方程為：y=-2x+$\sqrt{3}$．
原點O到直線的距離d=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+\sqrt{3}}\\{{y}^{2}+4{x}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為：8x²-4$\sqrt{3}$x-1=0，
∴x₁+x₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{8}$．
∴|AB|=$\sqrt{5[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{5（\frac{3}{4}+4×\frac{1}{8}）}$=$\frac{5}{2}$．
S_△AOB=$\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×\frac{\sqrt{15}}{5}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程、一元二次的根與系數、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．