Question

已知二次函數y=f(x)的圖像與x軸交于A、B兩點，且|AB|=4，它在y軸上的截距為-3．又對任意的都有f(x+1)=f(1-x)．

(1)求二次函數的表達式；

(2)若二次函數的圖像都在直線l：y=x+m的上方，求m的取值范圍．

Answer 1

解：(1)∵f(x+1)=f(1-x)  又f(x)為二次函數

∴可設f(x)=a(x-1)²+n  

又當x=0時，y=-3  ∴a+n=-3

∴f(x)=a(x-1)²-a-3 

令f(x)=0得a(x-1)²=a+3

∴|AB|= 

又|AB|=4  ∴a=1

即f(x)=(x-1)²-4=x²-2x-3 

(2)由條件知x²-2x-3＞x+m

即x²-3x-3-m＞0對于x∈R恒成立

∴△=9+4(3+m)＜0

即m＜

∴m的取值范圍是(-∞，).