Question

已知P為橢圓

x2

4

+y2=1上任意一點，F₁，F₂是橢圓的兩個焦點，求：
（1）|PF₁|•|PF₂|的最大值；
（2）|PF1|2+|PF2|2的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓定義知|PF₁|+|PF₂|為定值2a，再利用均值定理求積|PF₁|•|PF₂|的最大值即可；
（2）利用配方法將|PF1|2+|PF2|2進行配方，結合|PF₁|+|PF₂|為定值2a，再利用均值定理求|PF1|2+|PF2|2的最小值即可．

解答：解：（1）|PF1|•|PF2|≤(

|PF1|+|PF2|

2

)2=a2=4，
故：|PF₁|•|PF₂|的最大值是4；
（2）|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|•|PF2|≥4a2-2×(

|PF1|+|PF2|

2

)2=2a2=8，
故|PF1|2+|PF2|2的最小值是8．

點評：本題考查了橢圓的標準方程的意義，橢圓定義的應用，橢圓的幾何性質，利用均值定理和函數求最值的方法．